Thèse Placement de Capteurs et d'Actionneurs pour les Champs Neuronaux H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Sciences de l'ingénierie et des systèmes École doctorale : Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication Laboratoire de recherche : Laboratoire des Signaux et Systèmes Direction de la thèse : Jean AURIOL ORCID 0000000292038182 Début de la thèse : 2027-10-01 Date limite de candidature : 2027-04-30T23:59:59 Les champs neuronaux sont des équations intégro-différentielles non linéaires qui modélisent l'activité des populations neuronales. Ils fournissent une approximation continue des structures cérébrales, inspirée par la forte densité de neurones et de synapses dans le cerveau. Contrairement aux modèles numériques qui représentent chaque neurone par un ensemble d'équations différentielles, les champs neuronaux se prêtent à l'analyse mathématique. Ce compromis entre pertinence biologique du modèle et abstraction mathématique explique leurs diverses applications, qui s'étendent au cortex visuel, à la mémoire de travail ou aux structures cérébrales profondes liées à la maladie de Parkinson. Dans ce dernier cas, il a été montré qu'une stimulation proportionnelle à l'activité du noyau sous-thalamique suffit à atténuer les oscillations cérébrales associées aux symptômes parkinsoniens. Dans nos recherches les plus récentes, nous avons également développé des techniques de reconstruction adaptative pour estimer l'évolution du système en temps réel.

Bien que ces stratégies d'estimation et de contrôle représentent des avancées théoriques significatives, elles reposent souvent sur des hypothèses restrictives, telles que l'obligation de mesurer ou d'actionner la population neuronale dans l'ensemble du domaine spatial. Dans les applications pratiques, cependant, seul un nombre limité d'actionneurs et de capteurs ponctuels est disponible. Cette limitation soulève des questions importantes concernant l'observabilité et la contrôlabilité de ces systèmes de dimension infinie.

L'objectif général de cette thèse est d'analyser l'impact de l'emplacement des actionneurs et des capteurs sur le contrôle et l'estimation des champs neuronaux comprenant de multiples populations neuronales. Il s'agira de déterminer combien d'électrodes sont nécessaires et comment les disposer pour assurer l'observabilité et la contrôlabilité (ou, à défaut, la détectabilité et la stabilisabilité) du champ neuronal, d'optimiser leur placement pour améliorer les effets de la stimulation ou recueillir les données les plus informatives, puis de concevoir des lois de commande par retour de sortie permettant une atténuation sélective des oscillations pathologiques.

Deux approches complémentaires seront développées. La première consiste à projeter le noyau de l'équation intégro-différentielle sur une base fonctionnelle afin d'obtenir un système de dimension finie, auquel on pourra appliquer des méthodes de contrôle optimal pour positionner les électrodes. Le principal défi est de s'assurer que les termes négligés au cours de cette projection ne compromettent pas l'observabilité ou la contrôlabilité du système original (effet de spill-over). La seconde approche est plus structurelle. Elle consiste à tirer parti de la structure spécifique du noyau pour établir des conditions intrinsèques d'observabilité, similaires au critère de Hautus, qui faciliteront l'utilisation de transformations intégrales inversibles pour concevoir des lois de commande et des observateurs directement en dimension infinie.

La thèse commencera par l'étude d'une population neuronale unique, linéarisée autour d'un équilibre, avant d'aborder les champs neuronaux non linéaires et à populations multiples, pour lesquels des situations de sous-actionnement apparaissent. Comme cas d'application, nous concevrons une loi de rétroaction de sortie visant à perturber sélectivement les oscillations neuronales pathologiques tout en préservant l'activité du reste de la structure, ce qui nécessitera l'évaluation de la robustesse de cycles limites. Les résultats théoriques seront validés par des simulations numériques sur des modèles détaillés des structures cérébrales. Les champs neuronaux sont des équations intégro-différentielles non linéaires qui modélisent l'activité des populations neuronales [1, 2]. Ils fournissent une approximation continue des structures cérébrales, inspirée par la forte densité de neurones et de synapses dans le cerveau. Leur caractère de dimension infinie permet de rendre compte de l'hétérogénéité spatiale de l'activité neuronale et de la complexité des connexions synaptiques, et leurs versions à retard prennent en compte le caractère non instantané de la communication entre neurones. De nombreux outils mathématiques permettent aujourd'hui d'établir l'existence de motifs stationnaires [3, 4], d'analyser leur stabilité [5] ou de concevoir des lois de stabilisation par rétroaction [6].

Ce compromis entre pertinence biologique du modèle et abstraction mathématique explique les diverses applications des champs neuronaux, qui s'étendent au cortex visuel primaire [7, 8], au système auditif [9], à la mémoire de travail [10], au cortex sensoriel [11] et aux structures cérébrales profondes liées à la maladie de Parkinson [6]. Les progrès des technologies modernes, telles que les réseaux multi-électrodes et l'imagerie calcique, permettent de mesurer l'activité neuronale avec une résolution spatiale de plus en plus élevée. Dans nos recherches les plus récentes, nous avons développé des techniques de reconstruction adaptative pour estimer l'évolution du système en temps réel [12]. Cette estimation de la distribution synaptique pourrait être déterminante pour améliorer le contrôle des populations neuronales. La stimulation cérébrale profonde, qui consiste à stimuler électriquement des structures cérébrales profondes associées à des troubles neurologiques comme la maladie de Parkinson [13], en est un exemple particulièrement pertinent. Il a été montré qu'une stimulation proportionnelle à l'activité du noyau sous-thalamique suffit à atténuer les oscillations cérébrales associées à la maladie de Parkinson [6].

Bien que ces stratégies d'estimation et de contrôle représentent des avancées théoriques significatives, elles reposent souvent sur des hypothèses restrictives, telles que l'obligation de mesurer ou d'actionner la population neuronale dans l'ensemble du domaine spatial. Dans les applications pratiques, cependant, seul un nombre limité d'actionneurs et de capteurs ponctuels est disponible. Cette limitation soulève des questions importantes concernant l'observabilité et la contrôlabilité du système. D'un point de vue mathématique, le modèle linéarisé autour d'un équilibre fait intervenir une perturbation compacte de l'identité. La contrôlabilité exacte est alors hors de portée avec un nombre fini d'actionneurs, mais la partie instable du spectre est de dimension finie, ce qui rend pertinentes les notions de détectabilité et de stabilisabilité. Dès le cas simple d'un modèle en anneau à noyau invariant par translation, la symétrie du problème impose qu'un unique capteur ponctuel ne suffit pas à reconstruire un motif spatial périodique. Pour des noyaux hétérogènes, des populations multiples ou des électrodes spatialement étendues, de telles règles de placement explicites ne sont plus disponibles. Enfin, dans le contexte de la maladie de Parkinson, on peut se demander comment cette information limitée peut être utilisée pour compenser les oscillations neuronales pathologiques. L'objectif général de cette thèse est d'analyser l'impact de l'emplacement des actionneurs et des capteurs sur le contrôle et l'estimation des champs neuronaux comprenant de multiples populations neuronales. Plus précisément, nous souhaitons répondre aux trois questions suivantes.
1. Combien d'électrodes sont nécessaires et comment les disposer pour assurer l'observabilité et la contrôlabilité (ou, à défaut, la détectabilité et la stabilisabilité) du champ neuronal ?
2. Comment optimiser le nombre et le placement des électrodes pour améliorer les effets de la stimulation cérébrale ou pour recueillir les données les plus informatives sur les structures cérébrales ?
3. Comment concevoir des lois de commande par retour de sortie permettant une atténuation sélective des oscillations neuronales pathologiques ?
Pour répondre aux questions de contrôlabilité et d'observabilité des champs neuronaux, nous proposons deux approches complémentaires.

La première approche consiste à projeter le noyau apparaissant dans les équations intégro-différentielles sur une base fonctionnelle (modes de Fourier, fonctions propres de l'opérateur intégral) afin d'obtenir un système de dimension finie. Nous adapterons ensuite les techniques développées pour les systèmes de dimension finie afin d'évaluer la contrôlabilité et l'observabilité de ce modèle réduit. En particulier, il sera possible d'utiliser des méthodes de contrôle optimal pour positionner efficacement les actionneurs et les capteurs disponibles dans le domaine spatial. Le principal défi consiste à s'assurer que les termes négligés au cours de cette projection ne compromettent pas l'observabilité ou la contrôlabilité du système de dimension infinie original, ce que l'on appelle l'effet de spill-over [14].

La seconde approche est plus structurelle. Elle consiste à tirer parti de la structure spécifique du noyau pour établir des conditions intrinsèques d'observabilité, similaires au critère de Hautus [15]. Ces conditions intrinsèques faciliteront l'utilisation de transformations intégrales inversibles (de type backstepping), simplifiant ainsi la conception de lois de commande stabilisantes et d'observateurs directement pour le système de dimension infinie.

Le travail sera organisé en quatre étapes.
- Nous commencerons par considérer une population neuronale unique et simplifierons la dynamique par une linéarisation appropriée. Cela permettra de développer des méthodes de placement d'actionneurs et de capteurs adaptées à ce système simplifié de dimension infinie.
- Nous étendrons l'approche proposée aux champs neuronaux non linéaires et aux champs neuronaux à populations multiples. Dans ce cas, nous pouvons rencontrer des systèmes sous-actionnés en raison de l'impossibilité d'agir sur toutes les populations.
- En guise de cas d'application, nous concevrons une loi de rétroaction de sortie pour perturber sélectivement les oscillations neuronales pathologiques. Nous envisageons d'utiliser un réseau de systèmes interconnectés, chaque système générant des oscillations dans une bande de fréquence spécifique. Chaque sous-système recevant les mêmes entrées de commande, perturber les oscillations pathologiques tout en laissant intactes les oscillations saines représente un défi important, qui nécessitera l'évaluation de la robustesse de cycles limites [16].
- Enfin, nous validerons les approches proposées par des simulations numériques sur des modèles détaillés des structures cérébrales, pour diverses configurations de champs neuronaux.

Ce sujet de thèse nécessite de solides compétences en mathématiques et en théorie du contrôle, idéalement au niveau d'un master 2 en mathématiques appliquées ou en automatique, ou d'une école d'ingénieurs. Une bonne maîtrise de l'analyse fonctionnelle et des équations différentielles est attendue, et des connaissances sur les systèmes de dimension infinie ou les équations aux dérivées partielles seront appréciées. Une connaissance préalable des neurosciences n'est pas requise, mais un intérêt marqué pour ces applications sera un atout. Le travail de thèse permettra l'acquisition de compétences avancées sur les champs neuronaux, les équations intégro-différentielles et l'implémentation numérique. Le candidat devra également maîtriser Julia, Matlab ou Python, en particulier pour les méthodes numériques et les simulations.

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