Thèse Barycentres Wasserstein Généralisés et Applications H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Mathématiques École doctorale : Mathématiques Hadamard Laboratoire de recherche : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay Direction de la thèse : Thomas GALLOUET Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-10-15T23:59:59 Les distances de Wasserstein constituent un outil puissant pour comparer des données d'une manière géométriquement pertinente, sans faire appel à une représentation vectorielle spécifique. Si des progrès importants ont été réalisés dans l'utilisation de ces distances pour l'interpolation de données, de nombreuses applications - telles que l'analyse statistique de données à valeurs dans l'espace des mesures, la modélisation d'ordre réduit ou la conception de méthodes numériques pour la simulation en physique - nécessitent non seulement l'interpolation, mais aussi l'extrapolation des données.
Une définition naturelle de l'extrapolation dans l'espace de Wasserstein peut être obtenu en autorisant des coefficients signés dans la définition des barycentres de Wasserstein. La présence de poids négatifs constitue une généralisation non triviale de la définition classique introduite par Agueh et Carlier, car elle rend le problème non convexe et donc plus difficile à analyser et à résoudre numériquement. Néanmoins, Gallouët, Natale et Todeschi [1] ont récemment montré que le problème des barycentres signés entre deux mesures possède une structure convexe cachée, qui permet une caractérisation précise des solutions ainsi que le développement de solveurs numériques efficaces.
Dans ce projet, nous nous appuierons sur ces travaux pour traiter le cas général des barycentres signés entre plusieurs mesures et pour des coûts de transport arbitraires. Nous chercherons à généraliser les résultats de [1] à ce cadre plus général. Nous étudierons également le lien entre la notion d'extrapolation ainsi obtenue et les modèles du second ordre dans l'espace de Wasserstein, c'est-à-dire des courbes de mesures dont l'accélération relative à la métrique de Wasserstein est prescrite. Cela nous permettra d'aborder trois applications principales :
- la discrétisation de flots de gradient de Wasserstein, en développant les idées introduites dans [2] ;
- la discrétisation de modèles de mécanique des fluides tels que les équations d'Euler sans pression et isentropiques ;
- le développement de méthodes d'optimisation accélérées dans l'espace des mesures.
[1] Thomas O. Gallouët, Andrea Natale, and Gabriele Todeschi. Metric extrapolation in the Wasserstein space, 2025. Calculus of Variations and Partial Differential Equations.
[2] Thomas O. Gallouët, Andrea Natale, and Gabriele Todeschi. From geodesic extrapolation to a variational BDF2 scheme for Wasserstein gradient flows. Mathematics of Computation, 93:2769-2810, 2024. Wasserstein distances are a powerful tool to compare data in a geometrically meaningful way that does not rely on a specific vector representation. While significant progress has been made in using these distances for data interpolation, many applications - such as statistical analysis of measured valued data, reduced order modeling, or the construction of numerical methods for physics simulations - require not only interpolation but also extrapolation of data. However, there is currently only a partial understanding of how to define such extrapolations consistently with the Wasserstein geometry. One promising direction is based on the notion of Wasserstein barycenter with signed weights, which has been recently investigated in [1] in a simplified setting.
The main objective of this thesis is to expand our understanding of Wasserstein barycenters, focussing in particular on the case with signed weights. In particular, we aim to produce a computationally tractable characterization of such objects and provide efficient numerical algorithms for their computation. We will also invesitigate different applications of the developed tools, including:
- the discretization ofWasserstein gradient flows, developing the ideas of [2];
- the discretization of fluid models such as the pressureless and isentropic Euler equations;
- the development of accelerated schemes for optimization on the space of measures.

Tranport Optimal, numérique

• Flot