Thèse Modélisation des Incertitudes sur l'Arrondi et les Données d'Entrée H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Informatique et sciences du numérique École doctorale : Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication Laboratoire de recherche : Laboratoire d'Informatique - Parallélisme Réseaux et Algorithmes Distribuée Direction de la thèse : Devan SOHIER ORCID 0000000306939863 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-08-31T23:59:59 Un obstacle majeur à la mise en oeuvre des schémas numériques réside dans les erreurs d'arrondi, susceptibles de s'accumuler au cours de calculs longs et de produire des résultats fortement erronés. Si une erreur isolée est anodine, leurs mécanismes d'accumulation ou de compensation sont complexes, ce qui rend difficile l'évaluation de la précision d'un code.L'arrondi au plus proche (RN), mode par défaut de la norme IEEE-754, est déterministe. Cette propriété peut induire des biais et une accumulation d'erreurs dans certains schémas algorithmiques, comme les longues sommes ou les produits scalaires, avec des conséquences importantes en simulation numérique ou en intelligence artificielle.L'arrondi stochastique (SR) constitue une alternative visant à améliorer la précision sans augmenter le nombre de bits. Il arrondit aléatoirement vers l'un des deux flottants les plus proches, avec une probabilité inversement proportionnelle à la distance. Grâce à son caractère non biaisé, il limite l'accumulation d'erreurs dans certains calculs, en particulier en basse précision, où il favorise la convergence des méthodes itératives. Nous avons montré que les calculs multilinéaires composés d'additions et de multiplications effectués en SR peuvent être modélisés comme des martingales. Cette modélisation permet d'utiliser des inégalités de concentration pour borner l'erreur avec une probabilité donnée, conduisant à des bornes en n, contre des bornes déterministes en n pour RN en pire cas.Le SR a également été utilisé comme modèle probabiliste de RN afin de mieux comprendre l'erreur numérique produite par un code. Des outils comme Verificarlo exploitent cette idée pour évaluer la qualité numérique et la stabilité des programmes.Ce projet propose d'étudier le SR comme modèle d'un comportement moyen de RN et d'en analyser les conséquences asymptotiques. Il s'agira d'abord de définir rigoureusement une notion de cas moyen pour un calcul numérique, fondée sur le comportement de RN sous de petites perturbations aléatoires des données d'entrée. Pour une entrée donnée, légèrement perturbée par un processus aléatoire, nous montrerons que le comportement obtenu engendre des processus stochastiques analogues à ceux du SR, avec des phénomènes similaires dans certains cas. L'analyse fera apparaître un terme de conditionnement dépendant des valeurs d'entrée et un terme dépendant du nombre d'opérations.Nous étudierons ensuite le comportement asymptotique de ces processus. Dans de nombreux cas, ils présentent une tendance à la normalité ; nous chercherons également à identifier les situations où cette normalité échoue et à développer des outils adaptés à l'analyse de tels codes.Ces résultats permettront de mieux interpréter les implémentations logicielles du SR et leurs implications pour des codes exécutés en RN. Ils ouvriront aussi la voie à des méthodes statiques d'analyse permettant d'évaluer la précision. Enfin, ce travail fournira une base probabiliste pour des inférences statistiques sur la précision en fonction des entrées, ainsi qu'une méthodologie pour choisir les données sur lesquelles appliquer le SR et traiter statistiquement les résultats. A major obstacle in implementing numerical schemes is the presence of rounding errors that can accumulate in the course of a long computation and yield radically wrong results. While the apparition of a single rounding error is a trivial phenomenon, the way they accumulate, and sometimes compensate one another, is complicated, making it difficult to assess the accuracy of a numerical code. The objective of this thesis is to better understand the behavior of numerical errors in large numerical simulation codes, in order to better choose the precision to use for a given code, saving computations (and thus energy).

Nous recherchons un candidat ayant une solide formation en informatique et/ou mathématiques. Il doit avoir un goût pour les probabilités (et les statistiques) et leur application dans un contexte informatique.

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