Thèse Vers une Théorie Générale de la Complexité des Systèmes Dynamiques sur les Réels Modèles Ressources Problèmes d'Inversion H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Institut Polytechnique de Paris École polytechnique École doctorale : Ecole Doctorale de l'Institut Polytechnique de Paris Laboratoire de recherche : LIX - Laboratoire d'informatique Direction de la thèse : Olivier BOURNEZ ORCID 0000000292181130 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-04-30T23:59:59 Ce projet de thèse vise à développer une théorie générale de la complexité du calcul par systèmes dynamiques sur les réels. L'idée directrice est de considérer plusieurs formalismes - équations différentielles ordinaires polynomiales, systèmes discrets polynomiaux ou analytiques, et réseaux de neurones - comme différentes incarnations d'une même notion de calcul dynamique. Au-delà de leur rôle de modèles de phénomènes physiques ou d'architectures d'apprentissage, ces systèmes peuvent en effet être vus comme de véritables dispositifs de calcul.

L'objectif central sera de comparer ces modèles, de comprendre dans quelle mesure ils définissent des notions équivalentes ou distinctes de calcul, et d'identifier des notions de ressources pertinentes et robustes d'un formalisme à l'autre. Dans ce cadre, des paramètres tels que le temps, le nombre d'itérations, la longueur de trajectoire, la précision demandée, la dimension ou la robustesse aux perturbations devront être analysés de manière unifiée, afin de dégager une notion plus intrinsèque de complexité sur les réels.

Le projet s'appuie sur des résultats récents reliant systèmes dynamiques et complexité, notamment les caractérisations de classes de complexité par équations différentielles continues ou discrètes, et sur les liens nouveaux entre systèmes dynamiques et réseaux de neurones. Il s'agira d'aller au-delà de résultats isolés pour proposer un cadre général, conceptuellement solide, permettant de comparer computation continue, computation discrète et computation neuronale.

Les problèmes naturels associés aux systèmes dynamiques, comme la prédiction, l'atteignabilité et l'inversion, joueront un rôle central. Ils serviront à la fois d'objets d'étude intrinsèques et de tests structurants pour la théorie développée. À plus long terme, l'étude de la difficulté d'inversion pourrait également éclairer certaines formes de dureté computationnelle structurée, potentiellement pertinentes pour la cryptographie, sans que cela constitue le coeur initial du projet.

Cette thèse se situe ainsi à l'interface entre analyse calculable, théorie de la complexité, systèmes dynamiques et théorie des réseaux de neurones. Voir document pdf joint.

Guillaume Chirache est le candidat idéal.