Thèse Transformée d'Homologie Persistante pour des Formes Variables dans le Temps H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Mathématiques École doctorale : Mathématiques Hadamard Laboratoire de recherche : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay Direction de la thèse : Nina OTTER ORCID 0000000235781420 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-04-22T23:59:59 Ce projet visera à étudier comment la transformée d'homologie persistante (Persistent Homology Transform, PHT) peut être utilisée pour analyser des familles de formes géométriques évoluant dans le temps.

La PHT est un outil central de l'analyse topologique des données (TDA), introduite par Turner et ses coauteurs en 2014 [1,2]. Elle fonctionne en balayant une forme dans toutes les directions possibles et en encodant, pour chacune d'elles, l'information topologique de la filtration de hauteur sous la forme d'un diagramme de persistance, fournissant ainsi un descripteur de forme continu et injectif, adapté à un large éventail de problèmes d'analyse de formes. Une extension réalisée en 2024 par Otter et ses coauteurs étend la transformée aux fonctions de filtration paramétrées par des Grassmanniens affines, offrant des avantages numériques significatifs par rapport à la construction classique [3].

Dans ce projet, nous proposons d'appliquer la PHT, son extension et d'autres descripteurs topologiques issus de l'homologie persistante à l'étude de « séries temporelles généralisées ». Celles-ci correspondent à des familles paramétrées de formes évoluant selon un processus donné, par exemple le flot de courbure moyenne pour les surfaces ou le flot de raccourcissement de courbe pour des courbes. Nous étudierons en particulier la convergence et d'autres propriétés statistiques dans le cas où l'évolution est décrite par un processus stochastique. L'étude des propriétés de convergence probabiliste des invariants topologiques constitue un domaine de recherche actif en analyse topologique des données (voir, par exemple, [4]) mais cette question reste peu explorée dans le contexte des données variables dans le temps.

Cette proposition s'inscrit dans le cadre du projet « TopTime: Topological and statistical methods for time series data », dirigé par Katharine Turner et Nina Otter entre 2024 et 2026 (https://team.inria.fr/datashape/projects/toptime/), et elle réunira l'expertise de Turner et Otter en matière de PHT et de TDA pour les données variables dans le temps (outre les références ci-dessus, voir par exemple [5,6]). - Extension de PHTs pour des formes qui évoluant selon un processus donnée
- Étude de la convergence et d'autres propriétés statistiques dans le cas où l'évolution est décrite par un processus stochastique.

Le candidat idéal est un étudiant ayant une solide formation en mathématiques (M2 en mathématiques appliquées ou fondamentales) et, si possible, une expérience préalable en topologie algébrique.