Thèse Chaînes de Markov Hybrides avec Ajustement d'Importance Téléportation et Distributions Intermédiaires H/F - 75

Établissement : Institut Polytechnique de Paris Télécom SudParis
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : SAMOVAR - Services répartis, Architectures, Modélisation, Validation, Administration des Réseaux
Direction de la thèse : Randal DOUC ORCID 0000000339109495
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-04-30T23:59:59

Les méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) sont un outil central de l'inférence statistique moderne, en particulier dans les approches bayésiennes où les distributions a posteriori sont souvent inaccessibles analytiquement. Cependant, leur efficacité se dégrade fortement lorsque les distributions cibles sont multimodales, de grande dimension ou coûteuses à évaluer, ce qui constitue un défi majeur dans de nombreuses applications contemporaines.

Cette thèse vise à développer une nouvelle génération d'algorithmes MCMC capables de surmonter ces limitations. L'approche proposée consiste à combiner trois idées complémentaires récemment introduites dans la littérature : les Importance Markov Chains, qui découplent l'exploration de l'espace d'états de la complexité de la distribution cible, les mécanismes de téléportation permettant des sauts non locaux entre régions éloignées de l'espace d'états, et l'utilisation de chemins de distributions intermédiaires guidant progressivement l'échantillonnage vers la cible.

Ces idées seront intégrées dans une nouvelle famille d'algorithmes appelée Sequential Projected Markov Chains with Kick-Kac Teleportation (SpMC-KKT). L'objectif est de concevoir des méthodes d'échantillonnage plus robustes et efficaces pour les problèmes d'inférence de grande dimension. Les contributions attendues incluent l'analyse théorique des propriétés de convergence, le développement de stratégies adaptatives et la validation empirique sur des modèles bayésiens complexes.

Les méthodes MCMC classiques, comme Metropolis-Hastings ou Gibbs, sont limitées face aux distributions multimodales, aux espaces de grande dimension et aux densités coûteuses à évaluer. Les approches récentes, telles que le tempering, les Monte Carlo Hamiltoniens, les Sequential Monte Carlo et les Importance Markov Chains, apportent des solutions partielles mais ne combinent pas pleinement leurs avantages. L'objectif est d'unifier ces approches pour créer des algorithmes plus efficaces et robustes adaptés aux défis contemporains de l'inférence statistique.

Développer une nouvelle génération d'algorithmes MCMC combinant :

l'ajustement d'importance via les Importance Markov Chains (IMC),

les mécanismes de téléportation pour des sauts non locaux,

les distributions intermédiaires pour guider l'échantillonnage.

Garantir la convergence, la robustesse et l'adaptabilité des algorithmes pour des distributions complexes et évolutives.

Concevoir des stratégies adaptatives et valider empiriquement les méthodes sur des modèles bayésiens hiérarchiques et de grande dimension.

- Développement théorique des chaînes hybrides SpMC-KKT (Sequential Projected Markov Chains with Kick-Kac Teleportation).
- Analyse de convergence et propriétés ergodique.
- Optimisation adaptative des paramètres, éventuellement via l'inférence variationnelle.
- Validation empirique sur des modèles bayésiens complexes et séquentiels.
- Comparaison avec les méthodes MCMC existantes (IMC, téléportation, SMC, HMC).