Thèse Contrôle de Dynamiques de Type Mckean-Vlasov pour l'Apprentissage Statistique H/F - 75

Établissement : Institut Polytechnique de Paris Télécom Paris
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : Laboratoire de Traitement et Communication de l'Information
Direction de la thèse : Pascal BIANCHI ORCID 0000000271560297
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-04-30T23:59:59

Cette thèse s'intéresse à l'apprentissage statistique à travers le prisme des dynamiques de type McKean-Vlasov contrôlées. Elle repose sur l'idée que de nombreux algorithmes modernes de machine learning peuvent être interprétés, à un niveau asymptotique, comme des systèmes de particules en interaction pilotés par une commande de grande dimension. Dans ce cadre, l'analyse de la convergence de l'apprentissage est reformulée comme un problème de contrôle optimal en champ moyen.
Dans la limite d'un grand nombre de particules, l'évolution collective des particules est décrite par une équation de continuité non linéaire sur l'espace des mesures de probabilité, où le champ de vecteurs dépend à la fois du temps, de la position et de la loi du système. L'apprentissage correspond alors au choix d'une commande permettant de minimiser un risque défini comme une fonctionnelle de la loi finale.
L'objectif est de caractériser les points critiques de ces problèmes de contrôle, d'identifier des régimes favorables garantissant l'absence de minima locaux strictement sous-optimaux, et d'analyser la convergence des flots de gradient associés, en tenant compte des contraintes structurelles imposées par les architectures utilisées en pratique.

Les limites de champ moyen ont renouvelé l'analyse théorique des algorithmes d'apprentissage, en permettant d'interpréter l'apprentissage comme un flot de gradient sur l'espace des mesures. Ces approches ont conduit à des résultats de convergence globale pour certaines classes de modèles, notamment les réseaux résiduels et les Neural ODE.

Par ailleurs, les dynamiques de type McKean-Vlasov constituent un cadre naturel pour l'étude des systèmes de particules en interaction et apparaissent dans de nombreuses méthodes d'apprentissage, telles que l'optimisation globale par essaim de particules, l'échantillonnage variationnel ou l'analyse récente des mécanismes d'attention des Transformers. Les travaux existants décrivent la dynamique induite par des paramètres fixés : ils montrent typiquement l'émergence de comportements en temps long, tels que le clustering de la mesure. En revanche, l'étude théorique de l'apprentissage des paramètres reste largement ouverte.

Le contrôle optimal en champ moyen offre des outils mathématiques adaptés pour aborder ces questions. Bien que cette théorie soit aujourd'hui bien établie, elle a encore été peu exploitée pour l'analyse des algorithmes d'apprentissage statistique, ce qui motive le présent projet de thèse.

Développer un cadre mathématique pour analyser l'apprentissage statistique à partir de dynamiques contrôlées de type McKean-Vlasov, et comprendre les propriétés de convergence des algorithmes d'apprentissage fondés sur des systèmes de particules en interaction.

Formuler l'apprentissage comme un problème de contrôle optimal en champ moyen. Étudier le problème dans un cadre fonctionnel approprié (espaces de Sobolev ou RKHS), analyser la structure des points critiques dans des modèles relaxés puis structurés, et étudier la convergence des flots de gradient associés.