Thèse Mécanique Quantique Catégorielle dans des Dimensions Infinies H/F - 75

Établissement : Université Paris-Saclay GS Informatique et sciences du numérique
École doctorale : Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
Laboratoire de recherche : Laboratoire Méthodes Formelles
Direction de la thèse : Jean GOUBAULT-LARRECQ ORCID 0000000158793304
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-03-22T23:59:59

Ce projet vise à développer un cadre pour la mécanique quantique catégorielle (CQM) à dimension infinie en s'appuyant sur des travaux récents sur les espaces de cohérence quantique, les espaces d'opérateurs et leur relation avec la logique linéaire et la dualité Heisenberg-Schrödinger, les catégories -autonomes, les catégories distributives linéaires et les catégories unitaires mixtes. La recherche examinera comment ces structures, associées aux techniques des espaces d'opérateurs et aux catégories différentielles, peuvent modéliser des concepts de dimension infinie en théorie quantique, tels que les observables continus et la dynamique quantique. L'objectif est d'étendre les aspects fondamentaux de la CQM au-delà de la fermeture compacte et d'appliquer le cadre ainsi obtenu à des systèmes tels que l'oscillateur harmonique quantique.

Un objectif important de cette thèse est lié à la récursivité générale : les morphismes dans les espaces de cohérence quantique de Li et Zamdzhiev doivent être considérés comme « totaux » plutôt que « partiels » du point de vue de la théorie des domaines. Pour obtenir des propriétés plus intéressantes en théorie des domaines, il convient de remplacer les applications préservant la trace par des applications non croissantes (TNI) dans le cadre de Schrödinger, et de remplacer les applications unitaires par des applications sous-unitaires (SU) dans le cadre de Heisenberg. En effet, dans des dimensions finies, l'ordre de Loewner donne à la fois aux applications CPTNI et aux applications CPSU la structure d'un domaine continu, ce qui est un très bon type de dcpo du point de vue de la théorie des domaines. Pour ce faire, nous devrions modifier la polarité/orthogonalité en conséquence. Cela pourrait être réalisé grâce à la généralisation non commutative de la convexité, appelée convexité matricielle. Cela permettrait, espérons-le, de renforcer les liens avec les espaces de cohérence probabiliste, qui peuvent en effet être utilisés pour modéliser la récursivité générale. L'un des objectifs de ce projet de thèse est également d'étudier cette situation dans des dimensions infinies.

La structure conjointe Paris-Saclay-Macquarie est idéale pour ce projet : l'expertise de Zamdzhiev en matière d'espaces de cohérence quantique, d'espaces d'opérateurs et de logique complète celle de Lemay en matière de catégories différentielles. Ensemble, ils offrent un environnement parfait pour faire progresser les fondements de la CQM à dimension infinie, avec des implications potentielles pour la théorie de l'information quantique, l'informatique quantique et les approches catégorielles de la théorie quantique des champs.

La mécanique quantique, formalisée au début du XXe siècle par des chercheurs tels que Planck, Einstein, Schrödinger, Heisenberg et von Neumann, reste l'une des théories les plus précises et les plus riches sur le plan conceptuel en physique. Malgré son succès, le formalisme standard de l'espace de Hilbert peut être techniquement exigeant et offre souvent une compréhension structurelle limitée, en particulier pour les chercheurs qui ne sont pas spécialisés en physique mathématique. La théorie des catégories, introduite par Eilenberg et Mac Lane, est devenue depuis sa création dans les années 1940 un langage unificateur entre les mathématiques, la logique, l'informatique et la physique. Sa nature compositionnelle la rend particulièrement adaptée à la description des processus physiques. Au début des années 2000, les travaux d'Abramsky, Coecke, Selinger, Baez et d'autres ont donné naissance à la mécanique quantique catégorielle (CQM) [AC04], une vision de la théorie quantique utilisant le formalisme des catégories monoïdales. Cette approche met très bien en évidence la catégorie FHilb (espaces de Hilbert de dimension finie et applications linéaires) et a trouvé des applications dans l'information et le calcul quantiques. Dans cette approche, la fermeture compacte est une structure clé pour les catégories considérées, ce qui impose généralement une forte hypothèse de dimension finie. Heunen a prouvé dans [Heu08] que les catégories compactes fermées ne peuvent pas modéliser entièrement les espaces de Hilbert de dimension infinie. Ainsi, la CQM standard ne peut pas prendre en compte des systèmes tels que l'oscillateur harmonique quantique (QHO), les observables continus ou les structures nécessaires à la théorie quantique des champs (QFT). Cette limitation a donné lieu à diverses approches : la construction catégorielle du QHO par Vicary [Vic08] ; l'application de l'analyse non standard par Gogioso et Genovese [GG17] ; l'approche dagger-SMC de Coecke et Heunen [CH16] ; les modules C de Hilbert dans Heunen et Reyes [HR18] ; les perspectives de l'espace des opérateurs [LZ24 ; LZ25] ; et la caractérisation des observables de dimension infinie via les algèbres H [AH11], entre autres. Si chacune d'entre elles éclaire des aspects spécifiques, aucune ne fournit encore d'analogue complet de dimension infinie du CQM.

Ce projet de doctorat vise à remédier à certaines des limites susmentionnées et à contribuer à la création d'un CQM à dimension infinie mathématiquement robuste et physiquement significatif.

L'objectif de ce projet est de contribuer au développement d'une théorie de la mécanique quantique classique (CQM) à dimension infinie. Parmi les objectifs réalisables, on peut citer :

* explorer la relation entre les espaces d'opérateurs et la logique linéaire, et comment ils peuvent être utilisés pour décrire les concepts de la théorie quantique ;
* développer davantage les espaces de cohérence quantique et leur relation avec la mécanique quantique catégorielle ;
* étendre la construction catégorielle de Vicary du QHO en incorporant des descriptions différentielles-catégorielles de la dynamique ;
* étudier les structures développées par Srinivasan en relation avec la logique linéaire à dagger et voir comment elles peuvent être utilisées pour généraliser certains concepts de la mécanique quantique classique ;
* étudier et développer les propriétés théoriques du domaine des structures quantiques pertinentes.

La méthode scientifique est standard : revue de la littérature, lecture de documents de référence sur les mathématiques pertinentes, recherche théorique dirigée et supervisée par les directeurs de thèse.