Thèse Méthodes de Krylov Améliorées par l'Apprentissage pour les Problèmes de Helmholtz H/F - 75

Établissement : Institut Polytechnique de Paris École nationale supérieure de techniques avancées
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : UMA - Unité de Mathématiques Appliquées
Direction de la thèse : Marcella BONAZZOLI ORCID 0000000202845643
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-04-15T23:59:59

Ce projet porte sur les solveurs itératifs pour les problèmes de propagation d'ondes, plus précisément pour les simulations multi-sources et les problèmes inverses. Ces problèmes impliquent souvent la résolution de systèmes linéaires de grande taille comportant la même matrice mais plusieurs seconds membres.
Les méthodes classiques, telles que GMRES, sont coûteuses en termes de calcul, et la majeure partie de ce coût provient de la construction et de l'orthogonalisation des bases de Krylov. Lorsqu'elle est appliquée indépendamment à chaque second membre, la méthode GMRES recalcule à plusieurs reprises des informations similaires, ce qui la rend inefficace.
Nous étudions ici une approche GMRES à espace fixe, dans laquelle un seul sous-espace de Krylov est construit une seule fois et réutilisé pour de nombreux second membres, à partir d'un résidu initial. Le défi consiste à choisir judicieusement ce résidu initial afin que le même espace de Krylov puisse traiter efficacement de nombreux seconds membres. Pour y parvenir, nous souhaitons explorer à la fois des techniques d'optimisation et d'apprentissage, ces dernières visant à améliorer l'efficacité en fournissant une meilleure initialisation.
Les méthodes développées présentent un grand intérêt pour les applications de contrôle non destructif et d'imagerie.

Many applications in acoustics, electromagnetics, seismic imaging, and elasticity require solving time-harmonic wave problems at fixed frequency. After discretization, these lead to large, sparse, complex-valued linear systems A u = f, where A is a Helmholtz-type operator that is typically indefinite and difficult to solve, especially at high frequencies. In practice, the operator A often remains fixed while the right-hand side f changes, for example in multi-source simulations, inverse problems, or repeated forward and adjoint solves. This results in the need to solve many closely related linear systems with the same matrix. Krylov subspace methods [1], in particular GMRES [2], are the standard solvers for such problems. They are computationally expensive, and most of the cost comes from constructing and orthogonalizing Krylov bases. When applied independently to each right-hand side, GMRES repeatedly recomputes similar information, leading to substantial inefficiency.

This project investigates a fixed-space GMRES approach, where a single Krylov subspace is constructed once and reused for many right-hand sides. The idea is to select an initial seed residual r\_0 and build K\_m(A,r\_0) = span{r\_0, Ar\_0, ..., A^{m-1} r\_0}, which is used to compute approximate solutions by projection. The central research question is: 'How should the seed residual be chosen so that one Krylov space works well for many right-hand sides and we can solve many problems at once?'
Rather than relying on heuristic choices, we formulate this as an optimization problem and seek seed residuals that perform well across an entire family of right-hand sides. To obtain a practical and low-dimensional formulation, the seed is restricted to be a linear combination of available right-hand sides, r\_0 = Fw. Both optimization-based and learning-based strategies are explored to
select w, with learning used to improve solver efficiency through better initialization rather than to replace the underlying numerical method.

The project will involve:
- formulating optimization problems for selecting effective Krylov seeds,
- designing and implementing reusable Krylov solvers,
- exploring learning-based approaches for seed prediction,
- benchmarking against classical/block GMRES or other Krylov subspace methods with recycling (e.g. GCRO-DR), for Helmholtz wave simulations and inverse problems.